Кокасательное пространство в LaTeX (T^*_p M)

Где используется

Кокасательное пространство в точке p: пространство, двойственное к T_p M, состоящее из линейных функционалов (ковекторов) на касательных векторах в p.

Элементы T^*_p M — ковекторы, такие как дифференциал df_p, а координатные дифференциалы dx^i образуют базис, двойственный к \partial/\partial x^i. Звёздочка до или после нижнего индекса (T^*_p M или T_p^* M) даёт одинаковый результат, поскольку TeX располагает верхний и нижний индексы друг над другом независимо от порядка. ^* вместо ^{\ast} используется лишь ради краткости; оба дают одну и ту же звёздочку. Метрика отождествляет T_p M с T^*_p M опусканием индекса — именно так градиенты становятся ковекторами.

Минимальный компилируемый пример

Вставьте это в пустой файл .tex и скомпилируйте с pdfLaTeX, XeLaTeX или LuaLaTeX.

\documentclass{article}
\begin{document}
Cotangent Space: $T^*_p M$

\[ df_p \in T^*_p M,\quad df_p = \partial_i f\, dx^i \]
\end{document}

Похожие символы

• Касательное расслоениеTM
• Касательное пространствоT_p M
• Кокасательное расслоениеT^*M
• Многообразие\mathcal{M}
• Ковариантная производная\nabla_X Y
• Символ Кристоффеля\Gamma^k_{ij}

Частые вопросы

Как написать «Кокасательное пространство» в LaTeX?

Наберите T^*_p M в математическом режиме, например $df_p \in T^*_p M,\quad df_p = \partial_i f\, dx^i$. Команда работает в обычном LaTeX без подключения пакетов.

Какой пакет нужен для T^*_p M?

Никакой. T^*_p M входит в стандартный LaTeX, поэтому в преамбуле достаточно класса документа.

Можно ли использовать T^*_p M в текстовом режиме или только в математическом?

Только в математическом режиме. Вне $...$ LaTeX остановится с ошибкой "Missing $ inserted", поэтому в тексте пишите $T^*_p M$.