Опускание индекса в LaTeX (v_i = g_{ij} v^j)

Где используется

Опускание индекса: метрика переводит контравариантные компоненты вектора v^j в ковариантные компоненты v_i.

Это музыкальный изоморфизм «бемоль», часто записываемый как v^\flat, который отождествляет векторы с ковекторами. В евклидовом пространстве с декартовыми координатами g_{ij} = \delta_{ij}, поэтому опускание численно ничего не меняет; в пространстве Минковского с сигнатурой (-,+,+,+) оно меняет знак временной компоненты. Свободный индекс i должен совпадать в обеих частях, а по j идёт суммирование. Для тензора целиком опускайте каждый индекс отдельно, T_{ij} = g_{ik} T^k{}_j, следя за порядком слотов. Команда \flat, используемая в v^\flat, — это музыкальный знак бемоля, доступный в обычном математическом режиме.

Минимальный компилируемый пример

Вставьте это в пустой файл .tex и скомпилируйте с pdfLaTeX, XeLaTeX или LuaLaTeX.

\documentclass{article}
\begin{document}
Metric Lowering: $v_i = g_{ij} v^j$

\[ v_i = g_{ij} v^j,\quad v^\flat = v_i\, dx^i \]
\end{document}

Похожие символы

• Поднятие индексаv^i = g^{ij} v_j
• Свёртка тензораT^i_i
• Частная производная\partial_i
• Тензорное произведениеA \otimes B
• Ковариантная производная\nabla_i
• Правило суммирования ЭйнштейнаA^i B_i

Частые вопросы

Как написать «Опускание индекса» в LaTeX?

Наберите v_i = g_{ij} v^j в математическом режиме, например $v_i = g_{ij} v^j,\quad v^\flat = v_i\, dx^i$. Команда работает в обычном LaTeX без подключения пакетов.

Какой пакет нужен для v_i = g_{ij} v^j?

Никакой. v_i = g_{ij} v^j входит в стандартный LaTeX, поэтому в преамбуле достаточно класса документа.

Можно ли использовать v_i = g_{ij} v^j в текстовом режиме или только в математическом?

Только в математическом режиме. Вне $...$ LaTeX остановится с ошибкой "Missing $ inserted", поэтому в тексте пишите $v_i = g_{ij} v^j$.