Поднятие индекса в LaTeX (v^i = g^{ij} v_j)

Где используется

Поднятие индекса: обратная метрика превращает ковариантные компоненты v_j обратно в контравариантные компоненты v^i.

Поднятие — это музыкальный изоморфизм «диез», \alpha^\sharp; именно так из дифференциала строится вектор градиента: (\operatorname{grad} f)^i = g^{ij}\partial_j f. Поднятие, а затем опускание возвращает исходные компоненты, поскольку g^{ij} g_{jk} = \delta^i_k. В теории относительности p^\mu = g^{\mu\nu} p_\nu переводит ковектор 4-импульса в вектор. Записывайте обратную метрику с верхними индексами и никогда как g^{-1}_{ij}, что наводит на неверное расположение индексов. Команда \sharp даёт соответствующий знак диеза, а для диагональной метрики остаётся только слагаемое с j = i.

Минимальный компилируемый пример

Вставьте это в пустой файл .tex и скомпилируйте с pdfLaTeX, XeLaTeX или LuaLaTeX.

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
Metric Raising: $v^i = g^{ij} v_j$

\[ (\operatorname{grad} f)^i = g^{ij}\, \partial_j f \]
\end{document}

Похожие символы

• Частная производная\partial_i
• Опускание индексаv_i = g_{ij} v^j
• Ковариантная производная\nabla_i
• Свёртка тензораT^i_i
• СимметризацияT_{(ij)}
• Тензорное произведениеA \otimes B

Частые вопросы

Как написать «Поднятие индекса» в LaTeX?

Наберите v^i = g^{ij} v_j в математическом режиме, например $(\operatorname{grad} f)^i = g^{ij}\, \partial_j f$. Команда работает в обычном LaTeX без подключения пакетов.

Какой пакет нужен для v^i = g^{ij} v_j?

Никакой. v^i = g^{ij} v_j входит в стандартный LaTeX, поэтому в преамбуле достаточно класса документа.

Можно ли использовать v^i = g^{ij} v_j в текстовом режиме или только в математическом?

Только в математическом режиме. Вне $...$ LaTeX остановится с ошибкой "Missing $ inserted", поэтому в тексте пишите $v^i = g^{ij} v_j$.