Chỉ số hiệp biến trong LaTeX (T_{ij})

Dùng ở đâu

Tenxơ có hai chỉ số dưới, tức tenxơ hiệp biến hạng 2, chẳng hạn một metric, một tenxơ ứng suất hoặc một dạng song tuyến tính.

Chỉ số dưới biến đổi theo ma trận Jacobi nghịch đảo, T'_{ij} = \frac{\partial x^k}{\partial x'^i}\frac{\partial x^l}{\partial x'^j} T_{kl}, cùng quy tắc như gradient. Các ví dụ gồm metric g_{ij}, tenxơ Ricci R_{ij} và ứng suất Cauchy \sigma_{ij}. Một tenxơ hiệp biến hạng 2 tác động lên hai vectơ để cho một số, T_{ij} u^i v^j. Trong không gian Euclid với tọa độ Descartes, sự phân biệt chỉ số trên và dưới biến mất, vì thế các giáo trình kỹ thuật thường viết mọi chỉ số ở dưới. Mọi tenxơ như vậy tách thành phần đối xứng và phần phản đối xứng, T_{ij} = T_{(ij)} + T_{[ij]}.

Ví dụ tối giản biên dịch được

Dán đoạn này vào một tệp .tex trống rồi biên dịch bằng pdfLaTeX, XeLaTeX hoặc LuaLaTeX.

\documentclass{article}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
Covariant Index: $T_{ij}$

\[ T_{ij}\, u^i v^j \in \mathbb{R} \]
\end{document}

Ký hiệu liên quan

• Chỉ số phản biếnT^{ij}
• Tenxơ tổng quátT^{ij}_{kl}
• Tenxơ hỗn hợpT^i_j
• Delta Kronecker\delta^i_j
• Ký hiệu Levi-Civita\epsilon_{ijk}
• Quy ước tổng EinsteinA^i B_i

Câu hỏi thường gặp

Làm thế nào để viết Chỉ số hiệp biến trong LaTeX?

Gõ T_{ij} trong chế độ toán, ví dụ $T_{ij}\, u^i v^j \in \mathbb{R}$. Lệnh dùng được trong LaTeX chuẩn mà không cần nạp gói nào.

Cần gói nào để dùng T_{ij}?

Không cần gói nào. T_{ij} thuộc LaTeX chuẩn, nên chỉ cần lớp tài liệu trong phần mở đầu là biên dịch được.

Có thể dùng T_{ij} trong chế độ văn bản không, hay chỉ trong chế độ toán?

Chỉ trong chế độ toán. Bên ngoài $...$ LaTeX sẽ dừng với lỗi "Missing $ inserted", vì vậy trong văn bản hãy viết $T_{ij}$.